“ประโยชน์ของตัวเลข”

การเมืองกับคณิตศาสตร์? แค่อ่านหัวข้อนี้ก็คงสร้างความประหลาดใจให้กับหลาย ๆ คนได้แล้ว คณิตศาสตร์ เราเรียนกันมาตั้งแต่เด็ก เหมือนจะเป็นเรื่องของการบวกลบคูณหาร สูตรคำนวณต่าง ๆ การเมือง ไกลตัวขึ้นไปอีกหน่อย แต่ก็ว่าด้วยเรื่องของการบริหารและปกครองประเทศ ความสัมพันธ์ระหว่างรัฐและประชาชน




การเมืองกับคณิตศาสตร์? แค่อ่านหัวข้อนี้ก็คงสร้างความประหลาดใจให้กับหลาย ๆ คนได้แล้ว คณิตศาสตร์ เราเรียนกันมาตั้งแต่เด็ก เหมือนจะเป็นเรื่องของการบวกลบคูณหาร สูตรคำนวณต่าง ๆ การเมือง ไกลตัวขึ้นไปอีกหน่อย แต่ก็ว่าด้วยเรื่องของการบริหารและปกครองประเทศ ความสัมพันธ์ระหว่างรัฐและประชาชน ดูอย่างไรก็ไม่เห็นว่า คณิตศาสตร์ กับ การเมือง มันจะเกี่ยวข้องกันตรงไหนเลย

ในช่วงที่การเมืองในประเทศไทยกำลังเข้มข้นร้อนระอุนี้ ผู้เขียนจะขอนำเสนอหนึ่งในเรื่องราวของคณิตศาสตร์ประยุกต์ เมื่อการค้นคว้าวิจัยทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบันได้ทำให้คณิตศาสตร์ก้าวเข้ามามีบทบาทเกี่ยวข้องกับการดำเนินชีวิตของมนุษย์ในเกือบทุกเรื่อง ไม่เว้นแม้แต่เรื่องสังคมการเมือง สิ่งที่เรากำลังจะทำความรู้จักกันนี้ มีชื่อว่า ดรรชนีแห่งอำนาจ หรือ Index of Power

แต่ก่อนที่เราจะพูดถึงตัวดรรชนีนี้ เราลองมานึกถึง “ประโยชน์ของตัวเลข” กันดูก่อนดีกว่า เลขหนึ่งสองสาม ที่พวกเราทุกคนรู้จักกันดีนี่แหละ มันมีอะไรดีถึงขนาดที่ว่า เราต้องนั่งท่องนั่งจำกันมาตั้งแต่อนุบาล

เป็นเรื่องปกติที่เราจะลืมนึกกันไป แต่ความสำคัญหลัก ๆ ของตัวเลขก็คือ มันเป็นเครื่องมือที่ใช้ในการบอกปริมาณมากน้อย ลองนึกถึงบทสนทนาง่าย ๆ กันดู

“ถ้าจะไปคาราโอเกะต่อเราตังไม่พอวะ วันนี้เอาตังมานิดเดียว”

“เดี๋ยวยืมเราไปก่อนก็ได้ จะว่าไปเรายังติดนายจากคราวก่อนอยู่เลยนิ”

หรือ “พักนี้ไม่รู้เป็นไง เราว่ากินน้อยแล้วนะแต่สงสัยน้ำหนักขึ้นแน่เลย”

“อะไร ดูไม่เห็นจะอ้วนขึ้นเลย ยังไงชั้นว่า ชั้นก็ยังหนักกว่าเธออยู่ดีแหละ”

หากบทสนทนาจะยังดำเนินต่อไป คงนึกออกว่าอีกไม่นาน จะต้องมีการหยิบยกจำนวนตัวเลขขึ้นมาคุยกันแน่ ถ้าไม่อย่างนั้นก็คงต้องคุยกันอีกยาว ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่า ตัวเลขมีความสำคัญในการบอกข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับปริมาณ ความมากความน้อยของสิ่งใดสิ่งหนึ่งจะถูกแปรสภาพด้วยตัวบ่งปริมาณให้เฉพาะเจาะจง เข้าใจง่ายและสื่อสารกันได้รู้เรื่อง





ขอนอกเรื่องแทรกเกร็ดประวัติศาสตร์อีกสักหน่อย เมื่อครั้ง เจงกีสข่าน จอมทัพแห่งมองโกล รวบรวมไพร่พลหวังที่จะออกศึกไล่ล่าดินแดน เจงกีสข่านได้ริเริ่มการจัดกองทัพเป็นกองสิบกองร้อยกองพัน แทนที่จะใช้การยกทัพตะลุมบอนแบบในยุคก่อน ผลก็คือ กองทัพมองโกลภายใต้การนำของเจงกีสข่าน ได้เปรียบคู่ต่อสู้เป็นอย่างมากในเรื่องของการนำทัพจัดรูปขบวน ในการประมาณไพร่พล และการวัดประเมินค่าความเสียหายหลังทำศึก ทัพมองโกลที่มีประสิทธิภาพสูงนี้ ได้รับชัยชนะในสงครามเรื่อยมา

กลับมาเข้าเรื่องคณิตศาสตร์กันต่อดีกว่า ในเมื่อจำนวนมีประโยชน์ในการแจกแจงความมากน้อยของสิ่งต่าง ๆ มนุษย์จึงนำจำนวนตัวเลขมาเป็นเครื่องมือในการบอกปริมาณ ไม่ว่าจะเป็น น้ำหนัก ส่วนสูง ความยาว ความเร็ว ปริมาตร ราคา หรือที่ฟังดูเข้าใจยากขึ้นมาหน่อยก็เห็นจะเป็น ความคล่องตัวของตลาดหุ้น การกระจายตัวของรายได้ IQ EQ ความเผ็ดของพริก ความงามของท่ากระโดดน้ำในการแข่งขัน ยอดขายในไตรมาสที่หนึ่ง ความแรงของเครื่องยนต์ หรือแม้แต่ความขาวดูดีของผิดหน้าก็ยังวัดกันออกมาเป็นตัวเลขได้แล้วในสมัยนี้

index of power

แล้วทำไมอำนาจนี่จะวัดกันไม่ได้?

ใช่แล้วครับ ดรรชนีแห่งอำนาจ เป็นตัวชี้วัดอำนาจ หรือระดับอิทธิพล ถึงขั้นที่คำนวณออกมาดูกันชัด ๆได้เลยว่า ใครมีอำนาจมากน้อยเพียงไร นำคู่แข่งอยู่เท่าไหร่หรือตามคู่แข่งอยู่เท่าไหร่

เสียอยู่อย่างเดียว การที่จะคำนวณเลขดรรชนีตัวนี้ออกมานั้น มันไม่ใช่เรื่องง่าย ๆ เลย วิธีการคำนวณนั้นก็ยังมีหลายแบบแตกต่างกันออกไป แล้วแต่วัตถุประสงค์ในการใช้งาน ฟังอย่างนี้แล้วอย่าพึ่งท้อใจ หนทางหมื่นลี้เริ่มต้นด้วยก้าวแรก เรามาดูวิธีคำนวณดรรชนีแห่งอำนาจเบื้องต้นกันเลยดีกว่า! หากไม่พิสมัยกับการคำนวณก็ข้ามตัวอย่างไปได้เลยครับ

ตัวอย่างที่ 1 ในสภาผู้แทนราษฎรของประเทศประเทศหนึ่ง ซึ่งประกอบด้วยพรรคการเมืองสามพรรคคือ

พรรคสุจริตดี มี ส.ส. อยู่ 50 คน
พรรคสุจริตชอบ มี ส.ส. อยู่ 30 คน
และพรรคที่สาม พรรคสุจริตนิยม มี ส.ส. อยู่ 20 คน
ในการผ่านร่างกฎหมายแต่ละฉบับ ต้องใช้เสียงสองในสามของสภาหรือ 67 คน ดังนี้แล้วแต่ละพรรคมีอำนาจต่อรองมากน้อยเพียงไร?

วิธีการก็คือ เราจะเขียนทุกรูปแบบการร่วมโหวตที่จะทำให้ร่างกฎหมายผ่านสภาไปได้ ในกรณีนี้มีทั้งสิ้นสามแบบคือ
แบบที่ 1 ทั้งสามพรรคยกมือให้ผ่าน (รวมได้ 100 คะแนนเสียง)
แบบที่ 2 พรรคสุจริตดี และ พรรคสุจริตชอบ ยกมือให้ผ่าน (รวมได้ 80 คะแนนเสียง)
แบบที่ 3 พรรคสุจริตดี และ พรรคสุจริตนิยม ยกมือให้ผ่าน (รวมได้ 70 คะแนนเสียง)
สังเกตว่า พรรคสุจริตชอบ และ พรรคสุจริตนิยม มี ส.ส. รวมได้ 50 คน ไม่พอที่จะทำให้ร่างกฎหมายผ่าน ในขณะที่ พรรคสุจริตดี ที่เป็นพรรคใหญ่ จะต้องเห็นชอบเสมอในการผ่านร่าง แต่ก็ใช่ว่าพรรคสุจริตดีจะคุมเกมได้ทั้งหมด เพราะลำพังพรรคสุจริตดีพรรคเดียวมี ส.ส 50 คน ไม่พอที่จะผ่านร่างอยู่ดี ลองพิจารณาดูได้จากตารางนี้






ในลำดับต่อมา เราจะพิจารณา “พรรคที่ไม่จำเป็นในแต่ละรูปแบบการโหวต” นั่นคือ พรรคที่ต่อให้ไม่ยกมือ ร่างกฎหมายก็ผ่านไปได้อยู่ดี
เราจะเห็นว่า ในการโหวตแบบที่ 1 ต่อให้ พรรคสุจริตชอบ หรือ พรรคสุจริตนิยม ไม่ยกมือ ร่างกฎหมายก็ผ่านไปได้อยู่ดี เราจะลบเครื่องหมาย X ในช่องเหล่านั้นออก ส่วนในการโหวตแบบที่ 2 และ 3 ถ้ามีพรรคในพรรคหนึ่งไม่ยกมือละก็ ผลการโหวตจะเปลี่ยนไปทันที เราแก้ไขตารางได้เป็น






เอาละครับ มาถึงขั้นตอนสุดท้ายแล้ว มีเครื่องหมาย X เหลือรอดอยู่ 5 อัน อยู่ในช่อง พรรคสุจริตดี 3 อัน คิดเป็น 60% อยู่ในช่อง พรรคสุจริตชอบ 1 อัน คิดเป็น 20% อยู่ในช่อง พรรคสุจริตนิยม 1 อัน คิดเป็น 20% และนี่แหละครับ คือดรรชนีแห่งอำนาจของแต่ละพรรคภายในสภา ไม่ยากเกินไปใช่ไหมละครับ

ตัวอย่างที่ 2 ในการประชุมสามัญผู้ถือหุ้นของบริษัทแห่งหนึ่ง มีผู้เข้าร่วมประชุมสองคน คือ นายสมชาย และนางสมหญิง
นายสมชาย ถือหุ้นทั้งหมด 51 ล้านหุ้น
นางสมหญิง ถือหุ้นทั้งหมด 49 ล้านหุ้น
แล้วแต่ละคนนี้ มีอำนาจในการบริหารบริษัทอยู่เท่าไหร่?

ขั้นตอนคำนวณของตัวอย่างนี้ไม่ยากเท่าไรนัก ผมขอเฉลยเลยละกันว่า นายสมชายมีอำนาจ 100% นางสมหญิงมีอำนาจ 0% ที่ตัวเลขสุดโต่งไปแบบนี้ก็เพราะว่า นายสมชายเป็นผู้กุมชะตากรรมของบริษัทนี้ไว้ทั้งหมด ลำพังตัวเขาเอง ก็ถือหุ้นเกินครึ่งของบริษัทเข้าไปแล้ว อะไรที่คุณสมชายเห็นชอบ ก็จะเป็นนโยบายของบริษัทไปทันที ในส่วนของคุณสมหญิง เธอไม่มีอำนาจในการต่อรองเลย ดังนั้น จึงไม่น่าแปลกใจที่ว่า คุณสมชายมีอำนาจ 100% ในขณะที่ คุณสมหญิงมีอำนาจ 0%

ดรรชนีแห่งอำนาจ เป็นตัวชี้วัดที่ดี ในการประเมินความน่าสนใจของแต่ละพรรคการเมืองในการจัดตั้งพรรคร่วมรัฐบาล เพราะมันบ่งบอกถึง อิทธิพลของพรรคนั้น ๆ ที่จะมีต่อสภา หรือถ้าเป็นในภาษาคณิตศาสตร์ก็คือ ความน่าจะเป็นที่พรรคนั้น ๆ จะเป็นตัวชี้เป็นชี้ตายในการผ่านร่างกฎหมาย

John F. Banzhaf กับงานวิจัยเรื่องนี้



ไม่นานมานี้เอง ศาสตราจารย์ John F. Banzhaf III แห่งภาควิชากฎหมาย มหาวิทยาลัยจอร์จวอชิงตัน ได้ค้นคว้าวิจัยเรื่องนี้โดยละเอียด และพบว่าดรรชนีแห่งอำนาจที่เขาคิดขึ้น สามารถชี้วัดอำนาจของหนึ่งเสียงของประชาชนที่จะมีต่อสภาได้ด้วย นั่นคือ ทันทีที่เรามีสิทธิเลือกตั้ง เราก็มีอำนาจในการเปลี่ยนแปลงเส้นทางของประเทศชาติแล้ว! ดรรชนีแห่งอำนาจของ Banzhaf นี้ถูกนำมาใช้ในสหรัฐอเมริกา เพื่อวัดความเป็นไปได้ที่หนึ่งเสียงโหวตของประชาชนในแต่ละรัฐ จะมีผลต่อการเลือกตั้งประธานาธิบดีใน U.S. electroral vote




หวังว่าอ่านจบแล้วคงจะเป็นที่พอใจกันนะครับ หากพบข้อผิดพลาด หรือมีข้อแนะนำประการใด ก็ขอความคิดเห็นกันเข้ามาได้เลยครับ หากมีโอกาส ในครั้งหน้าผมจะขอนำเสนอบทต่อ เรื่อง “การเมืองกับคณิตศาสตร์: เมื่อประชาธิปไตยล้มเหลว” หนึ่งในทฤษฎีเกมสะเทือนโลก เมื่อโมเดลทางคณิตศาสตร์พบเจอช่องโหว่ของการโหวตภายใต้ระบบประชาธิปไตย

สุดท้ายนี้ก็อย่าลืมนะครับว่า หนึ่งเสียงของเราที่ดูเหมือนไม่มีค่าในการเลือกตั้งก็มีความหมายมาก สิ่งที่จะเปลี่ยนแปลงอนาคตของประเทศชาติได้ไม่ต้องไปหาที่ไหนไกล มันอยู่ในมือของพวกเราแล้วครับ

หมายเหตุ ผู้เขียนใช้คำว่า จำนวน และคำว่า ตัวเลข ในความหมายที่คนทั่วไปคุ้นเคย แต่ในทางคณิตศาสตร์ คำสองคำนี้มีความหมายต่างกัน จำนวน (number) คือวัตถุนามธรรมที่ใช้สำหรับอธิบายปริมาณซึ่งมนุษย์ทุกชาติทุกภาษามีความเข้าใจตรงกัน ส่วน ตัวเลข (numeral) คือสัญลักษณ์ที่ใช้แทนจำนวน เช่น 2 (ตัวเลขฮินดูอารบิก) หรือ ๒ (ตัวเลขไทย) หรือ II (ตัวเลขโรมัน) ต่างก็เป็นตัวเลขแทนจำนวน สอง
ผู้เขียน วิทวัชร์ โฆษิตวัฒนฤกษ์